Exemple de classe d`équivalence

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Autrement, chaque élément de (x ) est dans une certaine classe d`équivalence, et aucun deux classes d`équivalence différentes ne se chevauchent. Dans l`exemple ci-dessus, (a ) est un représentant de ([b] ), et (d ) est un représentant de ({c, d } ). Pour tous, nous avons IFF et appartiennent à la même classe d`équivalence. Pour un entier positif et des entiers, considérez la congruence, puis les classes d`équivalence sont les ensembles, etc. Définition: si (c in A/R ) et (x in c ), alors (x ) est appelé un représentant de (c ). La classe d`équivalence de x est l`ensemble de tous les éléments dans X qui sont mappés à f (x), i. On dit que c`est la classe d`équivalence R de a. Tout élément d`une classe peut être choisi en tant que représentant de la classe, en choisissant la section de manière appropriée. Si X est l`ensemble de toutes les voitures, et ~ est la relation d`équivalence « a la même couleur que », alors une classe d`équivalence particulière se compose de toutes les voitures vertes. Les représentants de classe standard sont pris pour être 0, 1, 2,. Définition: si (P ) est une propriété de relations, la fermeture (P ) de (R ) est la plus petite relation contenant (R ) qui satisfait la propriété (P ). Cela se produit, e.

ry ) et (yRz ) puis (xRz )): s`il existe un chemin d`accès de (x ) à (z ), il doit y avoir un bord directement de (x ) à (z ). Toutes les deux classes d`équivalence [x] et [y] sont soit égales, soit disjoints. Cette partition-l`ensemble des classes d`équivalence-est parfois appelée le quotient ensemble ou l`espace quotient de S par ~ et est notée par S/~. Les classes d`équivalence nous permettent de penser à des groupes d`objets connexes en tant qu`objets en eux-mêmes. Puis (g ([a]) = 13 ) et (g ([b]) = 25 ). Revendication: si (R ) est une relation d`équivalence sur (A ), les classes d`équivalence de (R ) forment une partition de (A ). Parce qu`il a attiré des réponses de faible qualité ou de spam qui ont dû être supprimées, l`affichage d`une réponse nécessite maintenant 10 réputation sur ce site (le bonus d`association ne compte pas). La carte surjective x ↦ [x] {displaystyle xmapsto [x]} de X sur X/R, qui mappe chaque élément à sa classe d`équivalence, est appelée la surjection canonique ou la carte de projection canonique. Toutefois, l`utilisation du terme pour les cas plus généraux peut aussi souvent être par analogie avec les orbites d`une action de groupe. Certains auteurs utilisent «compatible avec ~» ou simplement «respecte ~» au lieu de «invariant sous ~». Plus généralement, une fonction peut mapper des arguments équivalents (sous une relation d`équivalence ~ X sur X) à des valeurs équivalentes (sous une relation d`équivalence ~ Y sur Y).

La relation ci-dessus n`est pas transitive, car (par exemple) il y a un chemin d`accès de (a ) à (f ) mais pas de bord de (a ) à (f ). Une notation alternative [a] R peut être utilisée pour désigner la classe d`équivalence de l`élément a, en particulier en ce qui concerne la relation d`équivalence R.

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